4 선형독립과 선형종속 ( Linear Independence/Linear Dependence)(수정 중)

선형 독립과 선형 종속

선형 독립과 선형 종속 선형 시스템 내에서 가지는 특성

 

AI 기술 자연어 처리 전문가 양성 과정 3기

비슷한 강의 : 인공지능을 위한 선형대수

를 바탕으로 공부한 내용을 정리한 포스팅입니다.

 

주어진 벡터가 span에 속하면 해가 존재하고 

그렇지 않으면 해가 존재하지 않음

해가 존재하는 경우 해가 유니크하게 존재하는지 여러 개가 존재할 수 있을까

이 기준이 선형 독립과 의존

해가 유일무이한 경우는 주어진 벡터가 선형 독립일 때

벡터가 선형 의존이면 해가 무수히 많음

 

이 만들 수 있는 평행사변형을 여러 개 만들 수 있는 경우 해가 여러 개가 만들어짐

주어진 세 개의 벡터가 선형 의존 

그렇지 않으며 선형 독립

베

3개의 벡터를 가지고 평행사변형을 만들 수 있는 방법이 여러 개가 됨

 

 

 

 

실질적인 정의

주어진 벡터들이 같은 차원에 있는 벡터들일 때

p개의 벡터가 있을 때 하나씩 추가할 때

첫 번째 벡터로 만들어진 스팬 

두 번째 벡터는 첫 번째 벡터로 만들어지 ㄴ스팬에 포함되어있는지

포함되어있지 않아서 span의 공간을 늘려줌

p개까지 반복 가능하다면 선형 독립

어느 순간에 이전의 스팬에 속한다면 선형 의존

 

Ax = b

미지수가 샘플 수 보다 많은 경우 선형 의존

 

 

Ax = b

비를 0으로 만들어버리고 계수는 유지

이렇게 만든 방정식은 위와 같음

x1 v1+x 2 v2...= 0 벡터

호모 지니어스 이퀘이션

0 벡터는 어떤 벡터의 스팬에도 포함됨

0 상수 배를 하면 

벡터를 포함하기 때문 무조건

이때 그러면 최소한 솔루션이 하나가 됨 

가중치를 모두 0으로 세팅하면 재료 벡터가 무엇이든지 최소한 항상 하나의 솔루션(0벡터)은 찾을 수 있음

트리벌 솔루션이라고 부름

현재 솔루션을 하나 찾았는데 이때 저 해 이외의 다른 해가 존재한 경우 재료 벡터가 선형 의존 이게 됨

평행사변형을 맞추는 과정에서

0 벡터 가 아닌 솔루션이 나오면 ㅜㅐㅜㅅ갸퍄미 내ㅣㅕ샤ㅐㅜ

 

 

나머지 벡터들의 계수가 난제로의 값을 잘 조절해서 어떠한 값을 다시 원상태로 복구

나머지 벡터가 모두 사용될 수가 있고 나머지 백터중 일부만 사용될수 있음

이때 사용된 벡터가 NONTIRIVIAL SOL 

난제로인 가중치 중에 가장 마지막 난제로 그 이후는 난제로이니가 상관ㅌ

마지막 ㅁ난제로 값의 이전 값들을 뒤쪽으로 넘겨보냄 

실질적 정의에서처럼 하나씩 벡터를 추가하면서 기존의 벡터들의 스팬 선형 조합으로 표현될 수 있느냐 확인

이 식이 바로 그것을 의미

네 번째 벡터

0이 아닌 솔루션이 섞여있을 때

마지막 난제로를 왼쪽

나머지 난제로 들을 우항으로 이전 

 

 

 

두개의 백터가 그 뒤 벡터가 스팬에 들어오면 선형 의존

 

 

 

한 벡터씩 추가되면서 평사를 늘려줄 수 있는데

브이원 바투 의 스팬이나 브원브트브쓰리의 스팬은 같음

 

특정 비가 주어져 있을 때 솔루션이 여러 개 존재하게 됨

브쓰가 가 저렇게 표현할게 브쓰롤 포함해도 스팬을 넓힐 수 없음

2V1 + 3V2+V3 = 0

첫 번째 벡터를 두배 두벡을 세베 세벡을 한배 하면 0벡이 만들어지는데

같은 비율을 같도록만 삽입해도 

 

 

 

 

 

유일한 평행사변형이 그려질 때 선형 독립이 만들어짐