1 선형 대수의 기초( 벡터, 행렬, 기저, 행렬 연산)

프로그래머를 위한 선형대수 (히라오카 카즈유키 , 호리 겐 지음)

Goorm : AI기술 자연어 처리 전문가 양성 과정 3기 강의
( 비슷한 강의 : https://www.edwith.org/ai251/joinLectures/195088)

인공지능을 위한 선형대수 강좌소개 : edwith

를 바탕으로 공부한 내용을 요약한 포스팅입니다.

 

1. 벡터 (Vector)

정의 1) 벡터: 수를 나열한 것         

• n개의 성분수 =  n차원 벡터
• 세로로 늘어선 벡터 : 종벡터
• 가로로 늘어선  벡터 : 횡 벡터                 
• 종 벡터를 기본으로 함
• 횡 벡터는 주로 종 벡터의 Transpose로 표현

 

정의 2) 공간의 이미지로서 벡터

• 위치에 대응시키는 것
• 2차원 벡터는 2차원 공간의 점으로 3차원 벡터는 3차원 벡터의 점으로 나타낼 수 있음
• 위치라는 해석 외에 원점 0에서 그 위치를 향하는 화살표
• 덧셈은 화살표의 이어 붙임
• 정수배는 길이를 늘이고 줄임

 

벡터는 두꺼운 글씨로 명시

 

 

2. 기저 (Basis)

2차원 벡터가 평면 위의 점이라면

덧셈과 정수배가 정의된 세계를 선형 공간이라 부릅니다

기준이 되는 벡터를 사용하여 다른 벡터의 위치를 지정 가능한데

이런 기준이 되는 한 쌍의 벡터를 기저라고 합니다

 

기저가 되기 위한 조건

벡터의 조합을 기저라고 부르는 것은 다음 두 가지 조건을 만족시켰을 때

• 1) 현재 원하는 공간 안의 어떤 벡터라도 나타낼 수 있음
•  2) 나타내는 방법은 한 가지뿐임

 

 

2차원에서 기저의 예와 기저가 아닌 예

 

(기저 O ) 2개가 독립된 방향을 향합니다.

        

(기저 X ) 1개로는 그 방향밖에 표현할 수 없기 때문에 부족합니다.

(기저 O ) 3개는 2개로 남은 1개를 나타내게 되므로 많습니다.

(기저 X ) 2개가 같은 방향인 경우 그 방향밖에 표현하지 못합니다.

 

 

3차원에서 기저의 예와 기저가 아닌 예

(기저 O ) 3개가 독립된 방향을 향하고 있습니다

( 기저 X ) 2개는 평면 위만 표시 가능하기 때문에 기저가 되기 부족합니다.

( 기저 X ) 4개는 지나침 3개로 남은 1개를 나타냅니다.

( 기저X ) 3개가 같음 평면 평면 위밖에 표시하지 못합니다

 

주어진 벡터에 대해 무언가 수를 가져와서 생기는 벡터를 주어진 벡터의 선형 결합

즉 주어진 벡터의 선형 결합으로 임의의 벡터가 나타나고 그 표현 법이 유일할 때 주어진 백터가 기저

 

3. 차원

 n차원이면 기저 벡터는 n개

= 반대로 기저 벡터의 개수를 가지고 그 공간의 차원을 정의

차원 = 기저 벡터의 개수 = 좌표의 성분 수

 

 

 

4. 행렬 (Matrix )

 

순수한 관계를 나타내는 편리한 기법

수를 직사각형 형태로 나열한 것

행렬의 크기 : 위의 경우 3x2행렬

행렬 이므로 행과 열의 순으로 표기

행 : 횡 벡터, 열 :  종 벡터

정방 행렬 행 수와 열수가 같은 행렬

행렬 A의 i 행과 j 열의 값을  A의 (i, j) 성분이라고 함

 

 

 

행렬의 덧셈과 정수배

행렬과 벡터의 곱은 벡터

행렬과 행렬의 곱

행렬의 열수가 입력 차원수 행수가 출력 차원 수

입력의 종 벡터를 가로로 넘겨 딱딱 계산하는 느낌

 

 

행렬 =  사상

n차원 벡터 x에 대해 행렬 A를 곱하면 m차원  백터 y=Ax가 얻어집니다.

즉 행렬 A를 지정하면 벡터를 다른 벡터에 옮기는 사상이 결정됩니다.

사상: 변환이 대등한 것에 이동한다라는 의미라면 n차원 공간에서 m차원 공간이라는 다른 차원에 옮기는 것은 사상

 

행렬은 사상이 주어진 것이라고 생각하면 좋습니다.

점을 점으로 옮긴다라고 생각하기보다는

공간 전체가 어떻게 변하는지 떠올릴 수 있다면 선형대수가 알기 쉬어집니다.

• 원점 은 원점 그대로
• 직선을 직선에 이동
• 평행선은 평행선에 이동
• mxn의 행렬 A는 n차원 공간을 m차원 공간에 옮기는 사상을 나타냄
• 사상이 같다면 행렬도 같음 -> 같은 크기의 행렬 A, B가 임의의 벡터 x에 대해 항상 Ax=Bx라면 A=B

 

 

행렬의 곱 = 사상의 합성

k x m행렬과 m x n행렬의 곱은 k x n

1) 방법

• 오른쪽 행렬을 세로 단락으로 분해
• 2 분해한 각각에 왼쪽 행렬을 곱한다.(행렬과 벡터의 곱)
• 결과를 합친다.

 

2) 사상의 합성의 의미

벡터 x를 우선 사상 A로 날려버리고 목적한 곳인 y=Ax를 사상 B로 날리기

최종 종착지는 z = B(Ax)

A 하고 B 한다-> BA

세 행렬 ABC의 곱도 

A하고 B 하고 C 하는 것 ->  CBA

벡터도 행렬의 일종

종 벡터 x 횡벡터 = 행렬 - >  ㅣ ㅡ = ㅁ 

횡벡터 x 종벡터  =  정수->  ㅡ ㅣ = .

 

 

행렬 연산의 성질

행렬은 교환 법칙 적용 X

 

행렬 분해

행렬 결합

행렬 전치

 

 

행렬의 거듭제곱= 사상의 반복

사상으로서 A제곱은 A 하고 한층 더 A 합니다.

A를 n번 반복 적용

 

영행렬 

모든 성분이 0인 행렬을 영 행렬이라고 하고 기호 0으로 나타냅니다

영행렬이 나타내는 사상은 모든 것을 원점으로 이동시키는 사상

 

단위행렬

정방 행렬에서 다음처럼 ＼방향의 대각선 위만 1이고 다른 것은 모두 0인 행렬

기호로 I로 나타냄

단위행렬이 나타내는 사상

"아무것도 하지 않는 "사상

임의의 벡터에 대해 단위행렬을 곱하면 원래 벡터 그대로 이동함

 

대각 행렬 

정방 행렬의 ＼ 방향의 대각선 상의 값을 대각 성분

대각 성분 이외의 값은 비 대각 성분

비대각 성분이 모든 0인 행렬을 대각 행렬이라고 이

대각 행렬이 나타내는 사상은 축에 따르는 신축

대각 성분이 각 축의 늘고 주는 배율이 됨